MathTech

آدامز مرتبهٔ ۴

معادلات دیفرانسیل

در این دسته از روش‌ها از چند نقطه‌ی قبل از xix_i برای به دست آوردن تقریبی برای y(x)y(x) در نقطه‌ی xi+1x_{i+1} استفاده می‌شود. در اینجا تنها به بیان روش‌های صریح بسنده می‌کنیم.

روش‌های صریح:

در این دسته از روش‌ها از نقطه‌ی xix_i و نقطه یا نقاط قبل از آن برای به دست آوردن yi+1y_{i+1} استفاده می‌شود. معادله‌ی دیفرانسیل زیر را در نظر بگیرید:

{y′=f(x,y)y(x0)=y0\begin{cases} y' = f(x, y) \\ \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}

برای معادله‌ی دیفرانسیل فوق داریم:

yi+1=yi+∫xixi+1f(x,y)dxy_{i+1} = y_i + \int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x, y) dx

حال اگر مقدار y(x)y(x) در نقاط xix_i و xi−1x_{i-1} معلوم باشد به جای f(x,y(x))f(x, y(x)) از چندجمله‌ای درونیاب آن در نقاط xix_i و xi−1x_{i-1} استفاده می‌کنیم.

در روش آدامز-بشفورت چهارگامی داریم:

yi+1=yi+h24(55fi−59fi−1+37fi−2−9fi−3)y_{i+1} = y_i + \frac{h}{24} \left( 55 f_i - 59 f_{i-1} + 37 f_{i-2} - 9 f_{i-3} \right)

و خطای برشی موضعی آن نیز به صورت زیر است:

T=251720h5y(5)(η),η∈[xi−r,xi+1]T = \frac{251}{720} h^5 y^{(5)}(\eta) \quad , \quad \eta \in [x_{i-r}, x_{i+1}]

قاعده‌ی آدامز-بشفورت nn گامی (n≥2)\left( n \geq 2 \right) به صورت زیر تعریف می‌شود:

yi+1=yi+h∫01[fi+∇fis+∇2fi2!s(s+1)+⋯+∇n−1fi(n−1)!s(s+1)⋯(s+n−2)]dsy_{i+1} = y_i + h \int_{0}^{1} \left[ f_i + \nabla f_i s + \frac{\nabla^2 f_i}{2!} s (s+1) + \cdots + \frac{\nabla^{n-1} f_i}{(n-1)!} s (s+1) \cdots (s+n-2) \right] ds

روش‌های مرتبط