انتگرال‌گیری رامبرگ

برای سرعت و دقت بخشیدن به روش‌هایی مانند روش ذوزنقه‌ای از روش رومبرگ استفاده می‌شود. قرار می‌دهیم:

I = \int_{a}^{b} f(x) dx

فرض کنیم $f$ به اندازه‌ی کافی مشتق‌پذیر باشد در این صورت برای روش ذوزنقه‌ای داریم:

I = T(h) + \alpha_2 h^2 + \alpha_4 h^4 + \alpha_6 h^6 + \cdots

که $T(h)$ تقریب به دست آمده از روش ذوزنقه‌ای مرکب با طول گام $h$ است و $\alpha_i$ ها مستقل از $h$ و متناسب با مشتق $f$ از مرتبه‌های زوج هستند. اگر در روش ذوزنقه‌ای محاسبه را با طول گام $\frac{h}{2}$ انجام دهیم، در رابطه‌ی قبل خواهیم داشت:

I = T\left(\frac{h}{2}\right) + \alpha_2 \left(\frac{h}{2}\right)^2 + \alpha_4 \left(\frac{h}{2}\right)^4 + \cdots

)۱۶)

با حذف $\alpha_2$ از روابط قبل به رابطه‌ی زیر می‌رسیم:

I = \frac{4 I - I}{3} = \frac{4 T\left(\frac{h}{2}\right) - T(h)}{3} - \alpha_4 \frac{h^4}{2^4} + \cdots

این بدان معنی است که $T(h)$ تقریب برای $I$ است با خطای متناسب با $h^2$ که اگر چندجمله‌ای‌های از درجه‌ی حداکثر ۳ دقیق است. پس با استفاده‌ی مکرر از این قاعده می‌توان خطا را در هر مرحله کاهش داد. با قرار دادن مقادیر تقریب $T_i^{(k)}$ به دست آمده از روش ذوزنقه‌ای با طول گام $h = \frac{b - a}{2^k}$ برای $k = ۱, ۲, ۳, \ldots$ به تقریب $T_i^{(k)}$ در مرحله‌ی $k$ ام را به صورت زیر به دست می‌آوریم:

T_i^{(k)} = \frac{4^k T_{i+1}^{)k-1)} - T_i^{)k-1)}}{4^k - 1}, \quad i = ۰, ۱, ۲, \ldots

پس

T_i^{(۰)} \\ T_i^{(۱)} = \frac{4 T_{i+1}^{(۰)} - T_i^{(۰)}}{4 - ۱} \\ T_i^{(۲)} = \frac{4^2 T_{i+1}^{(۱)} - T_i^{(۱)}}{4^2 - ۱} \\ \vdots \\ T_i^{(k)} = \frac{4^k T_{i+1}^{(k-1)} - T_i^{(k-1)}}{4^k - ۱}

در جدول فوق $T_i^{(k)}$ در ستون $k$ ام قرار دارد و خطای آن متناسب با $h^{2k+2}$ است که برای چندجمله‌ای‌های کوچکتر و یا مساوی $2k+۱$ دقیق است.

روش‌های مرتبط