برازش منحنی

فرض کنید $n$ نقطه‌ای $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ موجود باشند و بخواهیم چندجمله‌ای مناسبی از درجه‌ی $k > n$ بیابیم به طوری که مجموع مربعات فواصل این نقاط از نمودار چندجمله‌ای مذکور کمینه شود. قرار می‌دهیم $P_k(x) = a_k x^k + \cdots + a_1 x + a_0$ . بنابراین دستگاه معادلات زیر باید حل شود:

\begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{2k} &\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^{2k-1} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^k \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{2k-1} & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{2k-2} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{k-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^k & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{k-1} & \cdots & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_k \\ a_{k-1} \\ \vdots \\ a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^k y_i \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^{k-1} y_i \\ \vdots \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i \end{bmatrix}

پس از حل دستگاه معادلات فوق ضرایب $a_k, \cdots, a_1, a_0$ بدست آمده و مشخص می‌شود $P_k(x)$ اگر قرار دهیم $P_1(x) = a_1 x + a_0$ آن‌گاه $a_0$ و $a_1$ از دستگاه زیر محاسبه می‌شوند.

\begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i^2 & \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i \\ \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i & n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ \\ a_0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i y_i \\ \\ \displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i \end{bmatrix}

روش‌های مرتبط