دوبخشی یا نیوتن؟ کدام روش ریشه‌یابی را انتخاب کنیم

برای حل معادلهٔ $f(x)=0$ وقتی فرمول بسته وجود ندارد، دو روش بسیار رایج داریم: دوبخشی و نیوتن-رافسون. هر دو را روی یک مثال استاندارد امتحان می‌کنیم:

دوبخشی؛ کند اما مطمئن. اگر $f(a)$ و $f(b)$ علامت مخالف داشته باشند، ریشه‌ای در بازه هست. هر گام بازه را نصف می‌کند، پس خطا بعد از $n$ گام از مرتبهٔ $\dfrac{b-a}{2^n}$ است. برای رسیدن به دقت $10^{-6}$ روی این مثال حدود ۲۰ گام لازم است و جواب ۱٫۳۶۵۲۳۰ می‌شود. بزرگ‌ترین مزیت: تا وقتی شرط علامت برقرار باشد، همیشه همگرا می‌شود.

نیوتن؛ سریع اما حساس. از حدس اولیه $p_0=1.5$ شروع می‌کنیم و هر بار مماس را تا محور $x$ پایین می‌آوریم:

در این مثال تقریب‌ها به‌ترتیب ۱٫۳۷۳۳۳۳، ۱٫۳۶۵۲۶۲، ۱٫۳۶۵۲۳۰۰۱۳ هستند؛ یعنی فقط ۴ گام تا ۸ رقم درست. دلیل: همگرایی مرتبه دوم است و تعداد ارقام درست تقریباً در هر گام دو برابر می‌شود.

کِی کدام؟

• اگر بازه‌ای با تغییر علامت دارید و تضمین می‌خواهید: دوبخشی.
• اگر حدس اولیهٔ خوب و مشتق ساده دارید و سرعت مهم است: نیوتن.
• اگر $f'(p_n)$ نزدیک صفر شود، نیوتن می‌تواند به جای دور بیفتد یا واگرا شود؛ ترکیب دو روش (چند گام دوبخشی و بعد نیوتن) راه حل رایج است.

در MathTech هر دو روش را می‌توانید با تابع خودتان اجرا کنید و مماس‌های نیوتن را روی نمودار گام‌به‌گام ببینید.